Tác giả: Cửu Số
[ChanhKien.org]
Hà Đồ và Lạc Thư, hai đồ hình này có rất nhiều điểm tương đồng. Theo cách nói của cổ nhân: “Nhất lục cộng tông, nhị thất đồng đạo, tam bát vi bằng, tứ cửu vi hữu, ngũ thập đồng đức”, nghĩa là: cặp 1 và 6 cùng chung nguồn gốc, cặp 2 và 7 cùng một quy luật, cặp 3 và 8 có quan hệ tương trợ, tương hợp, cặp 4 và 9 có quan hệ tương giao, tương ứng, còn cặp 5 và 10 cùng bản chất, cùng công năng. Trên đồ hình, điều đó được thể hiện ở chỗ một vài con số luôn nằm ở các vị trí liền kề nhau. Chính nguyên nhân ấy đã tạo nên một số hiện tượng số học thú vị trong Hà Đồ và Lạc Thư.
Trong những bài trước, chúng ta đã thấy nhiều hiện tượng về tổng các bình phương bằng nhau và tổng các lập phương bằng nhau. Tuy nhiên, Lạc Thư lại chứa đựng vô số hiện tượng mà tổng các số lập phương bằng nhau, trong khi Hà Đồ chỉ có hiện tượng tổng các bình phương bằng nhau. Điều này cho thấy rằng, xét dưới góc độ bố cục các con số, cấu trúc của Lạc Thư sở hữu những đặc điểm phong phú hơn. Trong bài này, chúng ta sẽ đối chiếu một chút giữa Lạc Thư với Hà Đồ, đồng thời đưa ra một dạng trung gian gọi là “Tung hoành đồ” (đồ hình dọc ngang), nhằm làm rõ mối liên hệ giữa Lạc Thư và Hà Đồ.
Xét về hình thức sắp xếp các con số, Lạc Thư được bố trí thành ba hàng ba cột, còn Hà Đồ thì theo một dãy dọc và một dãy ngang.
Bây giờ hãy xét đến sự biến đổi của Lạc Thư. Hãy quan sát hai tuyến số trong Lạc Thư: “4–9–5–1–6” và “2–7–5–3–8”. Trong bài trước về ký hiệu chữ Vạn, chúng tôi đã tính toán hai tuyến số này. Vẫn lấy số 5 làm trung tâm, nhưng kéo thẳng hai tuyến này ra, ta sẽ được một đồ hình gồm một trục dọc và một trục ngang. Kết quả là, trục dọc gồm dãy số “4–9–5–1–6”, còn trục ngang gồm dãy số “8–3–5–7–2”. Để phù hợp với cách bố trí của Hà Đồ, các số nhỏ nên được đặt ở phía trong, còn các số lớn ở phía ngoài. Tiếp đó, ta điều chỉnh lại một chút: trục dọc trở thành “94516”, còn trục ngang trở thành “83527”. Chúng ta gọi đồ hình mới này là “tung hoành đồ” (đồ hình gồm một trục dọc và một trục ngang).
Xét về độ phức tạp, “Tung hoành đồ” này có vẻ rất đơn giản. So với Lạc Thư, nó trông đơn giản hơn, còn so với Hà Đồ, cách sắp xếp của nó lại gần với tư duy thông thường của con người hơn. Theo tôi, đây chắc chỉ là một bài toán số học dành cho trẻ khoảng sáu, bảy tuổi.
Hình: Tung hoành đồ của Lạc Thư sau khi biến đổi
Chúng ta đã chỉ ra rằng trong Lạc Thư và Hà Đồ, mỗi đồ hình đều có một lộ trình tuần hoàn thú vị. Tiếp theo, lấy số 5 làm trung tâm, chúng ta chọn trường hợp các số có ba chữ số làm ví dụ và liệt kê các kết quả thu được.
Lạc Thư:
Nhóm số thứ nhất: 592, 576, 518, 534.
Nhóm số thứ hai: 594, 538, 516, 572.
592 + 576 + 518 + 534 = 2220
594 + 538 + 516 + 572 = 2220
592² + 576² + 518² + 534² = 1235720
594² + 538² + 516² + 572² = 1235720
592³ + 576³ + 518³ + 534³ = 689842800
594³ + 538³ + 516³ + 572³ = 689842800
Hà Đồ:
Nhóm số thứ nhất: 529, 546, 518, 537.
Nhóm số thứ hai: 547, 528, 536, 519.
529 + 546 + 518 + 537 = 2130
547 + 528 + 536 + 519 = 2130
529² + 546² + 518² + 537² = 1134650
547² + 528² + 536² + 519² = 1134650
529³ + 546³ + 518³ + 537³ = 604653210
547³ + 528³ + 536³ + 519³ = 604654290
Xin lưu ý rằng ở đây các tổng lập phương không bằng nhau.
Tung hoành đồ
Nhóm số thứ nhất: 547, 526, 518 và 539.
Nhóm số thứ hai: 529, 548, 536, 517.
547 + 526 + 518 + 539 = 2130
529 + 548 + 536 + 517 = 2130
547² + 526² + 518² + 539² = 1134730
529² + 548² + 536² + 517² = 1134730
547³ + 526³ + 518³ + 539³ = 604781550
529³ + 548³ + 536³ + 517³ = 604781550
Đối chiếu các kết quả tính toán ở trên, ta có thể thấy rằng “tung hoành đồ” có cách sắp xếp gần với Hà Đồ, còn về các tính chất số học thì gần với Lạc Thư. Vì vậy, dùng nó làm hình thức trung gian nối liền giữa Lạc Thư và Hà Đồ là một cách tiếp cận hợp lý.
Do tung hoành đồ có cách sắp xếp gần với Hà Đồ, nên chúng ta có thể áp dụng cơ chế xoay chuyển của Hà Đồ vào tung hoành đồ. Các đường nối cụ thể thì ở đây xin không trình bày nữa. Bạn đọc nào quan tâm có thể tự tìm đọc bài mạn đàm về Hà Đồ.
Đại tuần hoàn trong–ngoài của tung hoành đồ
Lấy số theo thứ tự xuôi: 92134768, 71342689, 63421897, 84213976. Lấy số theo thứ tự ngược: 93124867, 81243679, 62431798, 74312986.
92134768 + 71342689 + 63421897 + 84213976 = 311113330
93124867 + 81243679 + 62431798 + 74312986 = 311113330
92134768² + 71342689² + 63421897² + 84213976² = 24692925520971730
93124867² + 81243679² + 62431798² + 74312986² = 24692925520971730
92134768³ + 71342689³ + 63421897³ + 84213976³ = 1997582820027709946741050
93124867³ + 81243679³ + 62431798³ + 74312986³ = 1997582820027709946741050
Kết quả tính toán rất tốt, đúng như chúng ta mong đợi, xuất hiện hiện tượng các tổng bằng nhau, các tổng bình phương bằng nhau và các tổng lập phương bằng nhau.
Đại tuần hoàn trong–ngoài của tung hoành đồ này đã bao gồm đầy đủ cả tám con số nằm trên hai vòng tròn trong và ngoài. Tất cả những trường hợp có tổng bằng nhau còn lại đều có thể xem là những biến thể của kết quả này, và số lượng của chúng là vô cùng vô tận. Chúng tôi sẽ không liệt kê thêm các phép tính khác nữa. Nếu bạn đọc quan tâm, có thể đối chiếu với bài viết về Hà Đồ và tự thực hiện một vài bài tập tính toán.
Xét từ góc độ số học, Hà Đồ và Lạc Thư đều là những đồ hình có cấu trúc rất đơn giản. Tung hoành đồ, với tư cách là một hình thức trung gian, làm cầu nối giữa Hà Đồ và Lạc Thư, có thể xem là hợp lý. Tuy nhiên, ở đây chúng ta mới chỉ ra các hiện tượng số học, chứ chưa giải thích nguyên lý số học đằng sau những hiện tượng ấy. Về vấn đề này, tôi tin rằng những độc giả quan tâm sẽ tự mình tiếp tục tìm hiểu. Nếu trình bày chi tiết thì bài mạn đàm này sẽ biến thành một bài chứng minh bằng các công thức toán học. Tôi e rằng khi ấy, các bạn của tôi lại sẽ tiếp tục bảo đây là một bài viết khô khan.
Đối với tôi, việc chỉ ra những hiện tượng số học thú vị tồn tại trong Hà Đồ và Lạc Thư cũng đã đủ để hoàn thành bài toán thuật mạn đàm này. Còn như Hà Đồ và Lạc Thư có những công dụng kỳ diệu nào, liệu chúng có thể dẫn xuất những gợi mở mới hay không, thì đó hoàn toàn là vấn đề vượt ra ngoài phạm vi của bài mạn đàm này. Theo quan niệm của cổ nhân, con số có thể “kinh vĩ tam tài”, “khống bố tứ thời”, tức là chi phối và điều hòa các quy luật vận hành của Trời, đất, con người cùng sự biến đổi của bốn mùa. Theo những gì tôi biết, Lạc Thư và Hà Đồ, ngay cả khi chỉ được nhìn nhận theo quan niệm thuần túy về các con số của con người ngày nay, vẫn có thể phát huy tác dụng nhất định trong việc dự báo thông tin về thiên tai.